まず、直角二等辺三角形から求まる
\begin{equation}
\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation} と正三角形を二等分した直角三角形から求まる
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \\
\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}, \ \ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align} が最重要の値です。それ以外でよく出てくるものとして、 $\theta = \pi / 12 \ (15^{\circ}), \ 5\pi / 12 \ (75^{\circ})$ での値が挙げられます。これは上の $ \pi / 6 \ (30^{\circ})$ の値から半角公式を用いて求められます。半角公式から以下を得ます。
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{6} \right)}{2}} = \sqrt{\frac{8 + 4\sqrt{3} }{16}} \\
\end{align} 二重根号を外すために、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ と比較して、和が $8$, 積が $3 \times 2^2 = 12$ となる整数 $a, \ b$ を見つければいいですが、これは $a = 2, \ b = 6$ が取れます。従って、
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}
\end{align} です。同様に半角公式から (あるいは単に $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ から)
\begin{align}
\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}
\end{align} を得ます。
\begin{align}
\cos \left( \frac{5\pi}{12} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} }{4} \\
\sin \left( \frac{5\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}
\end{align} です。この値は覚えておくと何かと便利です。
