以下の記事の続きです。
mathkyopro.hatenablog.com
無限深さの振り返り
無限深さの井戸型ポテンシャル
\begin{equation}
V(x) =
\begin{cases}
0 \ \ (0 \le x \le a) \\
\infty \ \ (\mathrm{else})
\end{cases}
\end{equation} での波動関数は、
\begin{equation}
\psi (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left( n \pi \frac{x}{a} \right)
\end{equation} であり、そのときのエネルギーが
\begin{equation}
E = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2} = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} \ \ (n \ は正整数) \tag{1}
\end{equation} でした。
今後のために系を対称化します。そのために原点を正の方向に $a / 2$ ずらすと、
\begin{equation}
V(x) =
\begin{cases}
0 \ \ \left(-\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \right) \\
\infty \ \ (\mathrm{else})
\end{cases} \tag{2}
\end{equation} となり、波動関数は、
\begin{equation}
\psi (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left( n \pi \left( \frac{x}{a} + \frac{1}{2} \right) \right)
\end{equation} となりますが、位相を適切に取り直すと (適切に符号を取り直すと)
\begin{equation}
\psi (x) =
\begin{cases}
\sqrt{\frac{2}{a}} \cos \left( n \pi \left( \frac{x}{a} \right) \right) \ \ \ \left(n: \ 奇数 \right) \\
\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left( n \pi \left( \frac{x}{a} \right) \right) \ \ \ \left(n: \ 偶数 \right)
\end{cases} \tag{3}
\end{equation} となります。エネルギーはもちろん 式 $(1)$ のままです。
有限深さの場合
これを踏まえ、深さが有限の井戸型ポテンシャル
\begin{equation}
V(x) =
\begin{cases}
0 \ \ \left(-\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \right) \\
V_0 \ \ (>0, \ \mathrm{else})
\end{cases} \tag{4}
\end{equation} での束縛状態 $E < V_0$ の波動関数と固有エネルギーを考えます。シュレーディンガー方程式は
\begin{equation}
\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \right) \psi (x) = E \psi (x)
\end{equation} ですので、波動関数は $A, \ B, \ C, \ D$ を定数として以下のように書けます。但し、$x \rightarrow \pm \infty$ で $\psi (x) \rightarrow 0$ に注意します。
\begin{equation}
\psi (x) =
\begin{cases}
A \exp(\rho x) \ \ \ \left(x \le -\frac{a}{2} \right) \\
B \sin(kx) + C \cos(kx) \ \ \ \left( -\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \right) \\
D \exp(-\rho x) \ \ \ \left(\frac{a}{2} \le x \right)
\end{cases} \tag{5}
\end{equation} ここで、
\begin{align}
\begin{cases}
\rho &= \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} (V_0 - E)} \\
k &= \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} E}
\end{cases} \tag{6}
\end{align} と置きました。ここで、$x = -a / 2$ での波動関数と波動関数の微分の連続性 *1 から、
\begin{align}
A \exp \left( -\rho \frac{a}{2} \right) &= -B \sin \left(k \frac{a}{2} \right) + C \cos \left(k \frac{a}{2} \right) \tag{7} \\
A \rho \exp \left( -\rho \frac{a}{2} \right) &= k \left(B \cos \left(k \frac{a}{2} \right) + C \sin \left(k \frac{a}{2} \right) \right) \tag{8}
\end{align} です。$x = a / 2$ での波動関数と波動関数の微分の連続性から、
\begin{align}
D \exp \left(- \rho \frac{a}{2} \right) &= B \sin \left(k \frac{a}{2} \right) + C \cos \left(k \frac{a}{2} \right) \tag{9} \\
-D \rho \exp \left(- \rho \frac{a}{2} \right) &= k \left(B \cos \left(k \frac{a}{2} \right) - C \sin \left(k \frac{a}{2} \right) \right) \tag{10}
\end{align} 式 $(7), \ (8)$ から、
\begin{equation}
\rho = k \frac{B \cos \left(k \frac{a}{2} \right) + C \sin \left(k \frac{a}{2} \right)}{-B \sin \left(k \frac{a}{2} \right) + C \cos \left(k \frac{a}{2} \right)} \tag{11}
\end{equation} を得て、式 $(9), \ (10)$ から、
\begin{equation}
\rho = k \frac{-B \cos \left(k \frac{a}{2} \right) + C \sin \left(k \frac{a}{2} \right)}{B \sin \left(k \frac{a}{2} \right) + C \cos \left(k \frac{a}{2} \right)} \tag{12}
\end{equation} を得ます。式 $(11), \ (12)$ から、
\begin{equation}
\frac{B \cos \left(k \frac{a}{2} \right) + C \sin \left(k \frac{a}{2} \right)}{-B \sin \left(k \frac{a}{2} \right) + C \cos \left(k \frac{a}{2} \right)} = \frac{-B \cos \left(k \frac{a}{2} \right) + C \sin \left(k \frac{a}{2} \right)}{B \sin \left(k \frac{a}{2} \right) + C \cos \left(k \frac{a}{2} \right)}
\end{equation} を得ますが、分母を払って整理すると $BC = 0$ を得ます。つまり $B, \ C$ いずれかが $0$ です。両方 $0$ は不適なのでもう片方は非零です。
(A) $B = 0, \ C \neq 0$ の場合
このとき井戸の内部では波動関数は $\cos$ となっており、関数は全体で偶関数です *2。
式 $(12)$ から、
\begin{equation}
\rho = k \tan \left( k \frac{a}{2} \right)
\end{equation} です。両辺に $a / 2$ をかけて、
\begin{align}
\begin{cases}
\xi &= ka / 2 \\
\nu &= \rho a / 2 \\
\end{cases} \tag{13}
\end{align} と置くと、
\begin{equation}
\nu = \xi \tan \xi \tag{14}
\end{equation} また、$\rho, \ k$ の定義である式 $(6)$ から、
\begin{equation}
k^2 + \rho^2 = \frac{2mV_0}{\hbar^2}
\end{equation} ですので、両辺に $a / 2$ をかけて、
\begin{equation}
\xi ^2 + \nu^2 = \frac{mV_0 a^2}{2 \hbar^2} \tag{15}
\end{equation} を得ます。連立方程式 $(14), \ (15)$ の意味のある解 $\xi > 0, \ \nu \ge 0$ から、波動関数が得られます。この連立方程式は解析的に解けませんが、式 $(15)$ で表される円と、式 $(14)$ で表される曲線の交点です。
図から、これは有限個の解を持ち (上の例では $2$ 個)、$V_0 > 0$ において少なくとも $1$ 個の解を持ちます。具体的には解の個数は、
\begin{equation}
N \pi \le \frac{a}{\hbar}\sqrt{\frac{mV_0}{2}} < (N + 1)\pi
\end{equation} なる整数 $N$ に対して $N + 1$ 個です。つまり床関数を使って
\begin{equation}
\left\lfloor \frac{a}{\pi \hbar}\sqrt{\frac{mV_0}{2}} \right\rfloor + 1 \ 個 \tag{16}
\end{equation} と書けます。この個数ある連立方程式の解 $\xi, \ \nu$ に対して、エネルギ―固有値は
\begin{equation}
E = \frac{2\hbar^2}{ma^2} \xi^2 \tag{17}
\end{equation} であり、波動関数は
\begin{equation}
\psi (x) =
\begin{cases}
A \exp(\frac{2 \nu}{a} x) \ \ \ \left(x \le -\frac{a}{2} \right) \\
C \cos(\frac{2 \xi}{a} x) \ \ \ \left( -\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \right) \\
A \exp(-\frac{2 \nu}{a} x) \ \ \ \left(\frac{a}{2} \le x \right)
\end{cases} \tag{18}
\end{equation} となります。定数 $A, \ C$ は式 $(7)$ と規格化条件から定まりますが、具体的に書き下すのは難しいです。
(B) $B \neq 0, \ C = 0$ の場合
このとき井戸の内部では波動関数は $\sin$ となっており、関数は全体で奇関数です *3。
(A) と同様に式 $(12)$ から、
\begin{equation}
\nu = -\xi \cot \xi \tag{14’}
\end{equation} です。式 $(15)$ は (A) と同様成り立つので、式 $(14'), \ (15)$ の連立方程式から波動関数が得られます。
図から、これは有限個の解を持ち (上の例では $2$ 個)、(A) の場合と異なって必ず解を持つとは限りません。具体的には解の個数は、
\begin{equation}
(N - 1) \pi + \frac{\pi}{2} \le \frac{a}{\hbar}\sqrt{\frac{mV_0}{2}} < N\pi + \frac{\pi}{2}
\end{equation} なる整数 $N$ に対して $N$ 個です。つまり床関数を使って
\begin{equation}
\left\lfloor \frac{a}{\pi \hbar}\sqrt{\frac{mV_0}{2}} + \frac{1}{2} \right\rfloor \ 個 \tag{16’}
\end{equation} と書けます。この個数ある連立方程式の解 $\xi, \ \nu$ に対して、エネルギ―固有値は
\begin{equation}
E = \frac{2\hbar^2}{ma^2} \xi^2 \tag{17}
\end{equation} であり、波動関数は
\begin{equation}
\psi (x) =
\begin{cases}
A \exp(\frac{2 \nu}{a} x) \ \ \ \left(x \le -\frac{a}{2} \right) \\
B \sin(\frac{2 \xi}{a} x) \ \ \ \left( -\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \right) \\
-A \exp(-\frac{2 \nu}{a} x) \ \ \ \left(\frac{a}{2} \le x \right)
\end{cases} \tag{18’}
\end{equation} となります。(A) と同様に定数 $A, \ B$ は式 $(7)$ と規格化条件から定まります。
極限での振る舞い $\left( V_0 \rightarrow \infty \left(a: \ \mathrm{const.} \right) \right)$
$a$ を一定のまま、$ V_0 \rightarrow \infty $ とすると、無限深さの量子井戸の結果に帰着するはずです。そのことを見ていきます。
$ V_0 \rightarrow \infty $ より $\nu \rightarrow \infty $ ですが、このとき式 $(18), \ (18')$ から、井戸の外では波動関数の値が $0$ になることが分かります。(A) の式 $(18)$ は $\cos$ の形の解、(B) の式 $(18')$ が $\sin$ の形の解です。
また、有限深さの場合はどちらの場合も解が有限個しかありませんが、式 $(16), \ (16')$ から、$ V_0 \rightarrow \infty $ での極限では、どちらの解の個数は無限個あります。
(A) $B = 0, \ C \neq 0$ の場合
$\nu \rightarrow \infty $ より、式 $(14)$ から $ \xi = n \pi / 2 $ ($n$ は奇数) でなければなりません。これを式 $(17)$ に代入すると、式 $(1)$ ($n$ が奇数の場合) に帰着します。式 $(18)$ から式 $(3)$ ($n$ が奇数の場合) に帰着します。
(B) $B \neq 0, \ C = 0$ の場合
$\nu \rightarrow \infty $ より、式 $(14')$ から $ \xi = n \pi / 2 $ ($n$ は偶数) でなければなりません。これを式 $(17)$ に代入すると、式 $(1)$ ($n$ が偶数の場合) に帰着します。式 $(18')$ から式 $(3)$ ($n$ が偶数の場合) に帰着します。
以上から、無限深さの井戸型ポテンシャルの結果に帰着していることが分かりました。
