3次式の積分について解説した以下の記事の続きです。
mathkyopro.hatenablog.com
(1) 多項式の積分
1/6 公式や 1/12 公式を一般化して以下の式を考えます。
\begin{equation}
I(n, m) = \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^n (x - \beta)^m \mathrm{d} x
\end{equation} 被積分関数が、負だったり正だったりするのが嫌なので以下のように変形します。
\begin{equation}
I(n, m) = (-1)^m \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^n (\beta - x)^m \mathrm{d} x
\end{equation} $(-1)^m $ を除いた部分は、被積分関数が $0$ 以上なので、$0$ 以上です。ここで、$s = x - \alpha$ と置換して、$D = \beta - \alpha$ と置くと、
\begin{equation}
I(n, m) = (-1)^m \int_{0}^{D} s^n (D - s)^m \mathrm{d} s
\end{equation} となります。さらに、$Dt = s$ と置換すると、
\begin{align}
I(n, m) &= (-1)^m \int_{0}^{1} (Dt)^n (D - Dt)^m D \mathrm{d} t \\
&= (-1)^m (\beta - \alpha)^{n + m + 1} \int_{0}^{1} t^n (1 - t)^m \mathrm{d} t \\
&= (-1)^m (\beta - \alpha)^{n + m + 1} B(n + 1, m+ 1) \tag{1}
\end{align} となります。但し、
\begin{equation}
B(n, m) = \int_0^1 t^{n - 1} (1 - t)^{m - 1} \mathrm{d} t \tag{2}
\end{equation} と置きました。この積分の計算を考えます。まず、
\begin{equation}
B(n, 1) = \int_0^1 t^{n - 1} \mathrm{d} t = \frac{1}{n} \tag{3}
\end{equation} を得ます。さらに、部分積分から、
\begin{align}
B(n, m) &= \int_0^1 \left( \frac{1}{n} t^n \right)' (1 - t)^{m - 1} \mathrm{d} t \\
&= \left[ \frac{1}{n} t^n (1 - t)^{m - 1} \right] _0^1 - \int_0^1 \left( \frac{1}{n} t^n \right) (-1)(m - 1)(1 - t)^{m - 2} \mathrm{d} t \\
&= \frac{m - 1}{n} \int_0^1 t^n (1 - t)^{m - 2} \mathrm{d} t \\
&= \frac{m - 1}{n} B(n + 1, m - 1) \tag{4}
\end{align} ここで式 $(3), \ (4)$ より帰納的に、
\begin{align}
B(n, m) &= I(n + m - 1, \ 1) \cdot \frac{1}{n + m - 2} \cdots \frac{m - 1}{n} \\
&= \frac{1}{n + m - 1} \cdot \frac{1}{n + m - 2} \cdots \frac{m - 1}{n} \\
&= \frac{(n - 1)! (m - 1)!}{(n + m - 1)!} \tag{5}
\end{align} です。式 $(5)$ を式 $(1)$ に代入することにより、
\begin{align}
I(n, m) &= \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^n (x - \beta)^m \mathrm{d} x \\
&= (-1)^m (\beta - \alpha)^{n + m + 1} \frac{n! \ m!}{(n + m + 1)!} \tag{6}
\end{align} を得ます。ここから、1/6 公式や 1/12 公式が従います。
\begin{align}
I(1, 1) &= - \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^{3} \\
I(1, 2) &= + \frac{1}{12} (\beta - \alpha)^{4} \\
I(2, 1) &= - \frac{1}{12} (\beta - \alpha)^{4}
\end{align}
(2) 階乗の拡張
階乗は非負整数でのみ定義されていますが、$-1$ より大きい全実数に拡張でき*1、整数の場合と同様に、
\begin{align}
B(x, y) &=\frac{(x - 1)! (y - 1)!}{(x + y - 1)!}
\end{align} が成り立ちます。*2
例えば今、$x = y = 1 / 2$ を代入すると、
\begin{align}
B \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) &= \left( \left(-\frac{1}{2} \right)! \right)^2 \tag{7}
\end{align} を得ます。式 $(2)$ から、
\begin{align}
B \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) &= \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{t(1 - t)}} \\
&= \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left( t - \frac{1}{2} \right)^2}} \ \ (平方完成) \\
&= \int_{-1}^{1} \frac{\frac{1}{2} \mathrm{d} u}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{4} u^2}} \ \ \left(t - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}u \ と置換 \right) \\
&= \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{1 - u^2}} \\
&= \left[ \mathrm{arc} \hspace{-1.5pt} \sin u \right]_{-1}^{1} \\
&= \pi \tag{8}
\end{align} 従って、式 $(7), \ (8)$ から、
\begin{equation}
\left(- \frac{1}{2} \right)! = \sqrt{\pi}
\end{equation} となります。*3
*2:正確にはガンマ関数と呼ばれる関数が、\begin{equation} \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x - 1}e^{-t} \mathrm{d}t \end{equation} で全実数 $x \ (> 0)$ 上で定義され、非負整数 $n$ に対しては $n! = \Gamma(n + 1)$ が成立します。そのガンマ関数に対して、\begin{equation} B(x, y) =\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)} \end{equation} が成立します。
*3:必ずしも自明ではないですが、\begin{equation} \left(- \frac{1}{2} \right)! > 0 \end{equation} です。
