さて、下の $\square$ に入る数字はいくつでしょうか。
\begin{equation}
1, \ 2, \ 3, \ 4, \ \square
\end{equation}
そうですね。答えは $29$ です。
……… は？？？？？ $5$ に決まってるだろ？？？？ と思った方。落ち着いてください。上の数列 ${a_n}$ の一般項は以下です。
\begin{equation}
a_n = n^4 -10n^3 + 35n^2 -49n + 24 \tag{1}
\end{equation} これを計算すると確かに、$a_1 = 1, \ a_2 = 2, \ a_3 = 3, \ a_4 = 4, \ a_5 = 29$ となっています。
…まあ流石にこれは意地悪ですが、ところでどのようにしてこの式を構築したのでしょうか。
要するに今やりたいことは、$n = 4$ までは $a_n = n$ で、$n = 5$ で $a_n \neq n$ とすることです。従って、$a_n = n + f(n)$ としたとき、$f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0$ で $f(5) \neq 0$ ならよいです。つまり例えば、
\begin{equation}
f(n) = A(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \ (A \neq 0)
\end{equation} なら良いです。このとき、
\begin{equation}
a_5 = 5 + A(5 - 1)(5 - 2)(5 - 3)(5 - 4) = 5 + 24A
\end{equation} ですので、
\begin{equation}
A = \frac{a_5 - 5}{24}
\end{equation} です。つまり、
\begin{equation}
a_n = n + \frac{a_5 - 5}{24}(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) \tag{2}
\end{equation} とすればよいです。式 $(2)$ で $a_5 = 29$ とすると、式 $(1)$ を得ます。もっといえば、一般式を式 $(2)$ とすれば、$a_5$ は任意の値にできます。つまり、$\square$ には何が入っても良かったのです。$0$ でも $29$ でも $5000$兆でも、もちろん $5$ でも……
$a_n = n$ に定めたければ、一般式が、高々 $3$ 次の多項式であるという条件をつけるしかありません。このとき、$4$ 条件与えていることから多項式は定まり、それは $a_n = n$ で、無事 $a_5 = 5$ です。
