この記事の続きです。
mathkyopro.hatenablog.com
- $\theta = \pi / 8 \ (22.5^{\circ})$ での三角関数
- ① 相似を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出
- ② $5$ 倍角の公式 (ド・モアブルの定理) を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出
- ③ $2$ 倍角の公式 と $3$ 倍角の公式を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出
- まとめ
$\theta = \pi / 8 \ (22.5^{\circ})$ での三角関数
これらの次に、度数法で整数ではありませんが、$\theta = \pi / 8 \ (22.5^{\circ})$ が有名です。これも単に $\pi / 4 \ (45^{\circ})$ から半角公式で求めることができます。
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\
\end{align} を得ます。同様に半角公式から (あるいは単に $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ から)
\begin{align}
\sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \\
\end{align} となります。これらは二重根号も外れないので、覚える必要までは薄い気がします。ただ、$\tan$ の値は計算すると比較的きれいです。
\begin{align}
\tan \left( \frac{\pi}{8} \right) &= \frac{\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)}{\cos\left( \frac{\pi}{8} \right)} \\
&= \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \\
&= \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \ \ \left(分母分子に \ \sqrt{2 - \sqrt{2}} \ をかけた \right) \\
&= \sqrt{2} - 1
\end{align} となります。
次に、$\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での値を考えます。これは複数の方法で求めることができます。
① 相似を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出
内角が $36^{\circ}$, $72^{\circ}$, $72^{\circ}$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ を考えます。$\mathrm{AB} = \mathrm{AC} = 1$ とし、$\mathrm{BC} = x$ と置きます。
上図のように、角 $\mathrm{B}$ の二等分線を考え、$\mathrm{AC}$ との交点を $\mathrm{D}$ と置けば、三角形$\mathrm{BDC}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ と相似な二等辺三角形です。また、三角形 $\mathrm{ABD}$ も二等辺三角形になっているので、
\begin{equation}
\mathrm{BC} = \mathrm{BD} = \mathrm{AD} = x
\end{equation} を得ます。従って、
\begin{equation}
\mathrm{DC} = \mathrm{AC} - \mathrm{AD} = 1 - x
\end{equation} です。ここで、三角形$\mathrm{BDC}$ が三角形 $\mathrm{ABC}$ と相似であることから、
\begin{align}
&\mathrm{BC} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{BC} \\
&\therefore \ x : 1 - x = 1 : x \\
&\therefore x^2 = 1 - x \\
&\therefore x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ \ (\because x > 0)
\end{align}
ここで、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に垂直二等分線を下して垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、
\begin{align}
\sin \left( 18^{\circ} \right) &= \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}} \\
&= \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}
\end{align} $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ と $\cos \left( 18^{\circ} \right) > 0$ から、
\begin{align}
\cos \left( 18^{\circ} \right) &= \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}
\end{align} を得ます。
さらに、$\mathrm{B}$ から $\mathrm{AC}$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}_2$ とすると、
\begin{align}
\cos \left( 36^{\circ} \right) &= \frac{\mathrm{AH}_2}{\mathrm{AB}} \\
&= \frac{x + 1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}
\end{align} を得ます。これは、倍角公式 $\cos \left( 36^{\circ} \right) = 1 - 2 \sin^2 \left( 18^{\circ} \right)$ を使うことで $\sin \left( 18^{\circ} \right)$ から導出することもできます。因みにこれは黄金比の値の $2$ 倍になっています。
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ と $\sin \left( 36^{\circ} \right) > 0$ から、
\begin{align}
\sin \left( 36^{\circ} \right) &= \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}
\end{align} を得ます。
以上より、$ 18^{\circ} $ と $ 36^{\circ} $ の場合をまとめて求められました。ここから $ \cos(90^{\circ} - \theta ) = \sin \theta, \ \sin(90^{\circ} - \theta ) = \cos \theta $ を用いて、$54^{\circ}$ と $72^{\circ}$ も求められます。
$\tan$ の値については、$10 + 2\sqrt{5} = (6 - 2\sqrt{5})(5 + 2 \sqrt{5}) = (\sqrt{5} - 1)^2(5 + 2 \sqrt{5})$ *1であることから、
\begin{align}
\tan \left( 18^{\circ} \right) &= \frac{\sin \left( 18^{\circ} \right)}{\cos\left( 18^{\circ} \right)} \\
&= \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}
\end{align} となります。ほとんど同様に、
\begin{align}
\tan \left( 36^{\circ} \right) &= \frac{\sin \left( 36^{\circ} \right)}{\cos\left( 36^{\circ} \right)} \\
&= \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{\sqrt{5} + 1} \\
&= \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}
\end{align} となります。
② $5$ 倍角の公式 (ド・モアブルの定理) を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出
$5$ 倍角の公式を暗記している人は少ないと思われますが、これはド・モアブルの定理から導出できます。
\begin{align}
\cos 5 \theta + \mathrm{i} \sin 5 \theta &= (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)^5 \\
&= \cos^5 \theta +
5 \mathrm{i} \cos^4 \theta \sin \theta
- 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta \\
& - 10 \mathrm{i} \cos^2 \theta \sin^3 \theta
+ 5 \cos \theta \sin^4 \theta
+ \mathrm{i} \sin^5 \theta
\end{align} を得ます。実部を比べることで以下を得ます。
\begin{align}
\cos 5 \theta &= \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \\
&= \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \left( 1 - \cos^2 \theta \right) + 5 \cos \theta \left( 1 - \cos^2 \theta \right)^2 \\
&= \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \left( 1 - \cos^2 \theta \right) + 5 \cos \theta \left( \cos^4 \theta - 2 \cos^2 \theta + 1 \right) \\
&= 16 \cos^5 \theta - 20 \cos^3 \theta + 5\cos \theta \tag{1}
\end{align}
今、方程式
\begin{align}
\cos 5 \theta = 0 \tag{2}
\end{align} を考えると、$n$ を整数として
\begin{align}
(2) & \Leftrightarrow 5 \theta = \frac{\pi}{2} + n \pi \\
& \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{10} + \frac{n}{5} \pi \tag{3}
\end{align} です。一方式 $(1)$ から、
\begin{align}
(2) & \Leftrightarrow \cos \theta \left( 16 \cos^4 \theta - 20 \cos^2 \theta + 5 \right) = 0 \\
& \Leftrightarrow \cos \theta = 0, \ \pm \frac{\sqrt{10 \pm 2 \sqrt{5}}}{4} \ (複号任意) \tag{4}
\end{align} となります。この式 $(4)$ の $5$ 次方程式 $5$ つの実解は、式 $(3)$ の $n = 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$ に対応していますが、$n = 2$ は $\cos \theta = 0$ に対応しており、残りは $\cos \theta$ が $0 \le \theta \le \pi$ で単調減少であることから、
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{10} \right) &= +\frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} \\
\cos \left( \frac{3 \pi}{10} \right) &= +\frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4} \\
\cos \left( \frac{7 \pi}{10} \right) &= -\frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4} \\
\cos \left( \frac{9 \pi}{10} \right) &= -\frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}
\end{align} に対応しています。
また、$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ と $0 < \theta < \pi$ で $\sin \theta > 0$ であることから、
\begin{align}
\sin \left( \frac{\pi}{10} \right) &= \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \\
\sin \left( \frac{3 \pi}{10} \right) &= \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \\
\sin \left( \frac{7 \pi}{10} \right) &= \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \\
\sin \left( \frac{9 \pi}{10} \right) &= \frac{\sqrt{5} - 1}{4}
\end{align} です。$\sin$ の方は二重根号が外せます。
以上より、$ \pi / 10 \ (18^{\circ}) $ と $ 3 \pi / 10 \ (54^{\circ}) $ の場合をまとめて求められました。ここから $ \cos(\pi / 2 - \theta ) = \sin \theta, \ \sin(\pi / 2 - \theta ) = \cos \theta $ を用いて、$ \pi / 5 \ (36^{\circ}) $ と $ 2 \pi / 5 \ (72^{\circ}) $ も求められます。$\tan$ の値は ① と同様なので省略します。
③ $2$ 倍角の公式 と $3$ 倍角の公式を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出
$5$ 倍角の公式を用いなくても、覚えている人が多い $2$ 倍角の公式 と $3$ 倍角の公式を用いて導出することもできます。$ \sin(90^{\circ} - \theta ) = \cos \theta$ から、$\sin(54^{\circ}) = \cos(36^{\circ})$ であることから、$\theta = 18^{\circ}$ とすると、
\begin{align}
& \sin 3 \theta = \cos 2 \theta \\
& 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \\
& 4 \sin^3 \theta - 2 \sin^2 \theta - 3 \sin \theta + 1 = 0 \\
& (\sin \theta - 1)(4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 1) = 0 \\
& \sin \theta = 1, \ \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}
\end{align} ですが、$0 < \sin \theta < 1$ であることから、
\begin{align}
\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}
\end{align} で他は不適です。$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ と $\cos \left( 18^{\circ} \right) > 0$ から、
\begin{align}
\cos \theta &= \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}
\end{align} を得ます。$ 36^{\circ} $ の場合は倍角公式から求まり、さらに $ \cos(90^{\circ} - \theta ) = \sin \theta, \ \sin(90^{\circ} - \theta ) = \cos \theta $ を用いて、$54^{\circ}$ と $72^{\circ}$ も求められます。$\tan$ の値は ① と同様なので省略します。
