以下の記事の続きです。 mathkyopro.hatenablog.com $3^{\circ}$ 刻みの三角関数の値が求まりましたが、どうせなら $1^{\circ}$ ごとの値を求めたくなります。$3^{\circ}$ 刻みの三角関数の値を求めるのと同じ要領で、$1^{\circ}$ での三角関数の値が分かれ…

この記事の続きです。 mathkyopro.hatenablog.com 前回の記事ではいくつかの有名角ではないものの比較的有名な角度で三角関数の値を求めました。特に、$\pi / 12 \ (15^{\circ})$ において、 \begin{align} \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqr…

この記事の続きです。 mathkyopro.hatenablog.com $\theta = \pi / 8 \ (22.5^{\circ})$ での三角関数 ① 相似を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\circ})$ での三角関数の導出 ② $5$ 倍角の公式 (ド・モアブルの定理) を用いた $\theta = \pi / 10 \ (18^{\…

まず、直角二等辺三角形から求まる \begin{equation} \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} と正三角形を二等分した直角三角形から求まる \begin{align} \cos \left( \frac{\pi}{6} …

以下の記事の続きです。 mathkyopro.hatenablog.com 無限深さの振り返り 無限深さの井戸型ポテンシャル \begin{equation} V(x) = \begin{cases} 0 \ \ (0 \le x \le a) \\ \infty \ \ (\mathrm{else}) \end{cases} \end{equation} での波動関数は、 \begin{e…

以下の井戸型ポテンシャル \begin{equation} V(x) = \begin{cases} 0 \ \ (0 \le x \le a) \\ \infty \ \ (\mathrm{else}) \end{cases} \end{equation} での質量 $ m $ の粒子の固有関数・固有エネルギーを求めます。時間発展しないシュレーディンガー方程式…

3次式の積分について解説した以下の記事の続きです。 mathkyopro.hatenablog.com (1) 多項式の積分 (2) 階乗の拡張 (1) 多項式の積分 1/6 公式や 1/12 公式を一般化して以下の式を考えます。 \begin{equation} I(n, m) = \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)…

電験三種の教科書には、電柱間の距離が $ S $、電線の単位長さ当たりの質量 (線密度) が $ \rho$、電線の水平張力が $ T_0 $ であるとき*1、電線のたるみ $ D $ は \begin{equation} D \approx \frac{ \rho g S^2}{8T_0} \tag{1} \end{equation} と近似され…

1/6 公式について解説した、以下の記事の続きです。 mathkyopro.hatenablog.com1/12 公式とは、以下の等式のことです。 \begin{equation} I = \int_\alpha^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)^2 \mathrm{d}x = +\frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3 \tag{1} \end{e…

1/6 公式とは、以下の等式のことです。 \begin{equation} I = \int_\alpha^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \mathrm{d}x = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \tag{1} \end{equation} これを証明します。 $t = x - \alpha$ と置換します。$D = \beta - \alpha…

これを考えるために、整数では何が成り立っているのかをまず見ていく必要があります。 準備: 整数の性質 整数 $ \left( \mathbb{Z} \right)$ では、加法 ($+$) と乗法 ($\cdot$) が定義されており、以下の性質が成立しています。① 加法について A. 加法につ…

概要 回転座標系では、遠心力とコリオリ力という慣性力が現れることが知られています。これを導出していきます。 準備 慣性系として $xy$ 軸をとり、座標を $x(t), \ y(t)$ とします。それに対し、正の方向 (反時計回り) に $\theta(t)$ 回転している回転座…

問題 (difficulty = 2169) atcoder.jp 解説 時間内に解けませんでした… $M \le 10^{16}$ なので、$O(\sqrt{M})$ の素因数分解がギリギリできます。また、一般に素因数は少ないです。小さい順から $14$ 個の素数の積 $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11…

問題 $$ \mbox{定積} \mbox{分} \ \int_0^{2} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x \ を求めよ。 $$ 解答 \begin{equation} I ＝ \int_0^{2} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x \end{equation} と置くと、 \begin{equation} I ＝ \int_0^{2} \…

問題 以下の問に答えよ. $$ \mbox{(1) 自然} \mbox{数} \ a, \ b \ が、a $$ (2) \ 2 \cdot a! = b! \ を満たす \mbox{自然} \mbox{数} の組 \ \left( a, \ b \right) \ をすべて求めよ. $$ $$ (3) \ a! + b! = 2\cdot c! \ を満たす \mbox{自然} \mbox{数} …

さて、下の $\square$ に入る数字はいくつでしょうか。 \begin{equation} 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ \square \end{equation}そうですね。答えは $29$ です。 ……… は？？？？？ $5$ に決まってるだろ？？？？ と思った方。落ち着いてください。上の数列 ${a_n}$ の…

\begin{equation} I(a, b, d) = \int(ax^2 + b)^d \ \mathrm{d}x \ \ (|a| = |b| = 1) \end{equation} についてまとめます。積分定数は $C$ とします。また自然対数を $\ln$ と書きます。高校では $\log$ と書くことが多いです。 (1) $d = -1$ の場合 このと…

ランキング参加中数学ランキング参加中数学・科学・工学 (問題) 以下の問いに答えよ。必要ならば, $ 0.3 (1) $ 5^n > 10^{19} $ となる最小の自然数 $ n $ を求めよ。 (2) $ 5^m + 4^m > 10^{19} $ となる最小の自然数 $ m $ を求めよ。 (1) (解答) $ 0.3 \b…

ランキング参加中数学ランキング参加中数学・科学・工学 今回は、円周率 $\pi = 3.141592653589793238462643383279 \cdots$ の近似値に関する問題をみていきます。因みに語呂合わせとしては、「産医師異国に向こう・産後薬なく産婦みやしろに・虫さんざん闇…

ランキング参加中数学ランキング参加中数学・科学・工学 投資の世界で $72$ の法則というものが使われることがあります。ファイナンシャルプランナーから聞いたり、新入社員研修で耳にしたりしたことがある人もいるかもしれません。これは、$$\mbox{資金が 2…

ランキング参加中数学ランキング参加中数学・科学・工学 (1) 競プロの問題として (2) 数学の問題として: 形式的冪級数 *1 (もう少し dp に寄せた方法) (3) 数学の問題として: 行列 2024/04/10 (3) を追記しました。 次の問題を考えてみましょう。$1$ 以上 $5…

ランキング参加中数学 ランキング参加中数学・科学・工学 $a + b + c + d = abcd$ を満たす非負整数 $(a, b, c, d)$ を全て求めよ。 (方針) 次数が異なる等式を解く整数問題では、小さい数しか解にならないことがあります。例えばこの問題では、左辺は1次で…