問題
$$ \mbox{定積} \mbox{分} \ \int_0^{2} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x \ を求めよ。 $$
解答
\begin{equation}
I ＝ \int_0^{2} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x
\end{equation} と置くと、
\begin{equation}
I ＝ \int_0^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x + \int_0^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x \tag{A}
\end{equation} を得る。
\begin{equation}
I_1 ＝ \int_0^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x, \ \ \ I_2 = \int_0^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\mathrm{d}x
\end{equation} と置く。$x^2 = t$ の置換により、
\begin{split}
I_1 &＝ \int_0^{4} \frac{1}{\sqrt{t + 4}}\mathrm{d}t \\
&＝ \int_0^{4} \frac{1}{\sqrt{t + 4}}\mathrm{d}t \\
&＝ \left[ 2\sqrt{t + 4} \right]_0^4 \\
&＝ 4\sqrt{2} - 4 \\
\end{split} を得る。また、$I_2$ に関しては、$x = 2\sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} u$ と置換すると、$x / 2 = x'$ と置いたとき、
\begin{equation}
x' = \frac{e^u - e^{-u}}{2}
\end{equation} であるから、両辺に $2e^u > 0$ をかけて整理すると、
\begin{equation}
e^{2u} - 2x'e^{u} - 1 = 0
\end{equation} を得る。二次方程式の解の公式と、$e^u > 0$ から、
\begin{equation}
e^{u} = x' + \sqrt{x'^2 + 1}
\end{equation} を得る。従って、
\begin{equation}
u = \log \left|\frac{x}{2} + \sqrt{\left( \frac{x}{2} \right)^2 + 1} \right|
\end{equation} である。従って、
\begin{split}
I_2 &＝ \int_0^{\log \left( 1 + \sqrt{2} \right)} \frac{1}{\sqrt{4 \sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 u + 4}} 2\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}u \mathrm{d}u \\
&＝ \int_0^{\log \left( 1 + \sqrt{2} \right) } \mathrm{d}u \ \ \left(\because \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}u > 0 \ より、\sqrt{\sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 u + 1} = |\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}u| = \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}u \right) \\
&＝ \log \left( 1 + \sqrt{2} \right)
\end{split} となる。以上より、式 $\mathrm{(A)}$ から、
\begin{equation}
I = 4 \left(\sqrt{2} - 1 \right) + \log \left( 1 + \sqrt{2} \right)
\end{equation} を得る。
解説
$I_1$ は簡単な置換積分の問題です。難しいのは $I_2$ の方ですが、これは双曲線関数による置換が便利です。詳しくは以下の記事も参考にしてください。
mathkyopro.hatenablog.com
