今回は、円周率 $\pi = 3.141592653589793238462643383279 \cdots$ の近似値に関する問題をみていきます。因みに語呂合わせとしては、「産医師異国に向こう・産後薬なく産婦みやしろに・虫さんざん闇に鳴く」などが知られています。
① 円周率が $3.05$ より大きいことを証明せよ。(2003 東大理系 [6])
(解説)
非常に有名な問題です。2002年に学習指導要領で円周率が $3$ になったアンチテーゼとして出題された尖った問題だとされていますが、調べたところ学習指導要領で円周率が $3$ になった事実はないという説もあるようです。*1
それはさておき、円周率を下から評価する方法としては、円に内接する正多角形を考える方法が古来から知られています。この方針で証明してみます。
(解答)
半径 $1$ の円に内接する正 $N$ 角形の一辺の長さ $L$ は、上図から、
\begin{equation}
L = 2 \sin \left( \frac{\pi}{N} \right)
\end{equation} となります。正 $N$ 角形の周長は円周の長さより短いので、
\begin{equation}
NL = 2N \sin \left( \frac{\pi}{N} \right) \ < \ 2 \pi
\end{equation} を得ます。今、$N = 12$ を代入すれば、
\begin{equation}
24 \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \ = \ 6 \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \ < \ 2 \pi
\end{equation} を得ます。*2 *3 変形すると、
\begin{equation}
3 \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \ = \ 3\sqrt{2} \left( \sqrt{3} - 1 \right) \ < \ \pi \tag{1.1}
\end{equation} を得ます。今、
\begin{split}
(1.41)^2 = 1.9881 &< 2 \\
(1.73)^2 = 2.9929 &< 3
\end{split} から、*4
\begin{split}
1.41 &< \sqrt{2} \\
1.73 &< \sqrt{3}
\end{split} を得るので、式 $(1.1)$ から、
\begin{equation}
\pi \ > \ 3\sqrt{2} \left( \sqrt{3} - 1 \right) \ > \ 3 \times 1.41 \times (1.73 - 1) \ = \ 3.0879 > 3.05
\end{equation} より題意が言えました。
(最後に)
「正 $6$ 角形では $3 < \pi$ しか証明できないので、もう少し辺が多い多角形を使わないといけない。なので、周長が計算しやすい正 $12$ 角形を使ってみよう」という方針は、比較的思いつきやすく、とっつきやすい問題でした。
② 2012 阪大 理学部挑戦枠 [2]
(問題)
円周率を $\pi$ とする. 正の整数 $n$ に対し、
\begin{split}
a_{n} &= \int_{0}^{2 - \sqrt{3}} \frac{1 - x^{4n}}{1 + x^2} \mathrm{d}x \\
b_{n} &= \int_{0}^{2 - \sqrt{3}} \frac{1 + x^{4n + 2}}{1 + x^2} \mathrm{d}x
\end{split} とおく.
1.7320508 < \sqrt{3} < 1.7320509
\end{equation} である.
(解説)
誘導が付いているとはいえ、① の東大の問題よりはるかに精度のよい不等式の証明が要求されています。しかも上下から評価しなければなりません。計算も非常にややこしそうです。$\sqrt{3}$ を評価する不等式が与えられているのは証明しなくてよいのでありがたいですが、なぜか桁が非常に多く不吉です。こんなに必要になるのでしょうか。
方針としては (1) は不等式を使っての挟みうちの原理で証明することになりますが、その不等式から円周率を評価していくのがよさそうです。
(解答)
(1)
\begin{equation}
I = \int_{0}^{2 - \sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x
\end{equation} とおく。また、$\alpha = 2 - \sqrt{3}$ とおく。$0 < x < \alpha$ において、$-\alpha^{4n} < -x^{4n} < 0$ であるから、
\begin{equation}
(1 - \alpha^{4n})I < a_n < I \tag{2.1}
\end{equation} を得る。同様に、$0 < x < \alpha$ において、$0 < x^{4n + 2} < \alpha^{4n + 2}$ であるから、
\begin{equation}
I < b_n < (1 + \alpha^{4n + 2})I \tag{2.2}
\end{equation} を得る。ここで、$-1.8 < -\sqrt{3} < -1.7$ であるから、$0 < 0.2 < \alpha = 2 - \sqrt{3} < 0.3 < 1$ であることに注意すると、$\alpha^{4n} \to 0 \ (n \to \infty), \ \alpha^{4n + 2} \to 0 \ (n \to \infty)$ であるから、$(2.1), \ (2.2)$ と挟み撃ちの原理から、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = I \tag{2.3}
\end{equation} である。最後に、
\begin{equation}
I = \left[ \mathrm{arc} \hspace{-1.5pt} \tan x \right]_{0}^{2-\sqrt{3}} = \frac{\pi}{12} \tag{2.4}
\end{equation} であるので、$(2.3), \ (2.4)$ から題意が言えた。*5
また、$(2.1), \ (2.2), \ (2.4)$ から、
\begin{equation}
a_n < \frac{\pi}{12} < b_n \tag{2.5}
\end{equation}
を得る。
(2)
(方針)
最初に述べた通り、$(2.5)$ 式から $\pi$ を評価していくことになります。$n$ を大きくするほど 式 $(2.1), \ (2.2)$ から、式 $(2.5)$ の両側が $\pi / 12$ に収束して精度が良くなることが分かりますが、明らかに計算も面倒になりそうです。小さい $n$ で何とかならないのでしょうか。
\begin{equation}
a_1 = \int_{0}^{\alpha} \frac{1 - x^4}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\alpha} (1 - x^2) \mathrm{d}x = \alpha - \frac{1}{3}\alpha^3 = -\frac{20}{3} + 4\sqrt{3}
\end{equation} から、
\begin{equation}
\pi > -80 + 48 \sqrt{3} > -80 + 48 \times 1.73205 = 3.1384
\end{equation} を得ます。*6 まあまあな精度の評価ですが求められている精度には残念ながら足りません。従って $a_2$ を計算しなければなりません。しかもそれで十分かどうかはやってみるまで分かりません。
\begin{equation}
a_2 = \int_{0}^{\alpha} \frac{1 - x^8}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\alpha} (1 - x^2 + x^4 - x^6) \mathrm{d}x = \alpha - \frac{1}{3}\alpha^3 +\frac{1}{5}\alpha^5 - \frac{1}{7}\alpha^7
\end{equation} です。$\alpha^7$ の計算は困難すぎるので、このような場合は多項式で割って次数を落とすことが良く行われます。$\alpha = 2 - \sqrt{3}$ と $\beta = 2 + \sqrt{3}$ が根となる方程式は解と係数の関係から $f(x) = x^2 - 4x + 1$ ですので、これで割ることになります。しかしその計算も悲惨なほど煩雑です。結果的には精度はこれで十分なのですが、計算中はこれでも足りなかったらどうしようと不安に苛まれながら計算を行うことを強いられます。
上からの評価に関しては、
\begin{equation}
b_1 = \int_{0}^{\alpha} \frac{1 - x^6}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\alpha} (1 - x^2 + x^4) \mathrm{d}x = \alpha - \frac{1}{3}\alpha^3 +\frac{1}{5}\alpha^5
\end{equation} で結果的に足りますが、これもやってみるまで分かりません。
(解答)
$f(x) = x^2 - 4x + 1$ とおくと $f(\alpha) = 0$ である。これを用いると、
\begin{split}
a_2 &= \int_{0}^{\alpha} \frac{1 - x^8}{1 + x^2} \mathrm{d}x \\
&= \int_{0}^{\alpha} (1 - x^2 + x^4 - x^6) \mathrm{d}x \\
&= \alpha - \frac{1}{3}\alpha^3 +\frac{1}{5}\alpha^5 - \frac{1}{7}\alpha^7 \\
&= \frac{1}{105}\left( 105\alpha - 35 \alpha^3 +21 \alpha^5 - 15 \alpha^7 \right) \\
&= \frac{1}{105}\left( f(\alpha) \left(-15\alpha^5 - 60\alpha^4 - 204\alpha^3 - 756\alpha^2 - 2855\alpha - 10664 \right) -39696\alpha + 10664 \right) \\
&= \frac{1}{105}\left(-39696\alpha + 10664 \right) \\
&= \frac{1}{105}\left(39696\sqrt{3} - 68728 \right)
\end{split} を得る。*7 従って、式 $(2.5)$ から、
\begin{split}
\pi > \frac{4}{35}\left(39696\sqrt{3} - 68728 \right) &> \frac{4}{35}\left(39696 \times 1.7320508 - 68728 \right) \\
&= \frac{4}{35} \times 27.4885568 \\
&= 3.1415 \cdots
\end{split} であるので、
\begin{equation}
3.1515 < \pi \tag{2.6}
\end{equation} を得る。また同様にして、
\begin{split}
b_1 &= \int_{0}^{\alpha} \frac{1 - x^6}{1 + x^2} \mathrm{d}x \\
&= \int_{0}^{\alpha} (1 - x^2 + x^4) \mathrm{d}x \\
&= \alpha - \frac{1}{3}\alpha^3 +\frac{1}{5}\alpha^5 \\
&= \frac{1}{15} \left( 15\alpha - 5\alpha^3 + 3\alpha^5 \right) \\
&= \frac{1}{15} \left( f(\alpha)\left( 3\alpha^3 + 12\alpha^2 + 40\alpha + 148 \right) + 567\alpha - 148 \right) \\
&= \frac{1}{15} \left( 567\alpha - 148 \right) \\
&= \frac{1}{15} \left(986 - 567\sqrt{3} \right)
\end{split} を得る。従って、式 $(2.5)$ から、
\begin{split}
\pi &< \frac{4}{5}\left(986 - 567\sqrt{3} \right) \\
&= \frac{4}{5}\left(986 - 567 \times 1.7320508 \right) \\
&= \frac{4}{5}\left(986 - 982.0728036 \right) \\
&= \frac{4}{5} \times 3.9271964 \\
&= 3.14175712
\end{split} であるので、
\begin{equation}
\pi < 3.1418 \tag{2.7}
\end{equation} を得る。$(2.6), \ (2.7)$ から、
\begin{equation}
3.1415 < \pi < 3.1418 \tag{2.8}
\end{equation} なので、題意が言えた。
(最後に)
挑戦枠だけあって、計算が非常に煩雑で手ごわい問題でしたが、題意のように小数点以下第 $3$ 位まで $\pi$ を決定し、かつ小数点以下第 $4$ 位も $5, \ 6, \ 7$ まで絞ることができました。
③ $\pi < 22/7$ の証明 *8
(解説)
$22/7$ は、円周率の近似値として時々使われます。入試問題ではありませんが、これが円周率より大きいことは古代から知られている事実です。実はこれは、
\begin{equation}
g(x) = \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}
\end{equation} として、
\begin{equation}
J = \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d}x
\end{equation} を考えると証明できます。まず、$0 < x < 1$ において $0 < g(x)$ なので、$0 < J$ です。かつ計算すると、$J = 22/7 - \pi$ なので、$0 < 22/7 - \pi$ となり題意が示せます。
(解答)
\begin{equation}
g(x) = \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}
\end{equation} として、\begin{equation}
J = \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d}x
\end{equation} と定義する。
\begin{split}
g(x) &= \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2} \\
&= \frac{x^4(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)}{1 + x^2} \\
&= x^6 -4x^5+5x^4-4x^2+4 - \frac{4}{1 + x^2}
\end{split} である。従って、
\begin{split}
J &= \left[ \frac{1}{7}x^7 - \frac{2}{3}x^6 + x^5 - \frac{4}{3}x^3 + 4x - 4 \mathrm{arc} \hspace{-1.5pt} \tan x \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - \pi \\
&= \frac{22}{7} - \pi
\end{split} であるので、
\begin{equation}
J = \frac{22}{7} - \pi \tag{3.1}
\end{equation} である。また、$0 < x < 1$ において $0 < g(x)$ なので、
\begin{equation}
0 < J \tag{3.2}
\end{equation} である。したがって、式 $(3.1), \ (3.2)$ から、
\begin{equation}
\pi < \frac{22}{7}
\end{equation} である。
(最後に)
\begin{equation}
\pi < \frac{22}{7} < 3.143
\end{equation} が証明できました。しかし、少し工夫するともっと精度よくしかも上下から評価できます。$h(x) = x^4(1-x)^4$ と定義すると、$0 < x < 1$ において
\begin{equation}
\frac{h(x)}{2} = \frac{x^4(1-x)^4}{1 + 1^2} < g(x) < \frac{x^4(1-x)^4}{1 + 0^2} = h(x)
\end{equation} なので、
\begin{equation}
K = \int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d}x
\end{equation} と定義すると式 $(3.1)$ から、
\begin{equation}
\frac{1}{2} K < J = \frac{22}{7} - \pi < K
\end{equation} より、
\begin{equation}
\frac{22}{7} - K < \pi < \frac{22}{7} - \frac{1}{2} K \tag{3.3}
\end{equation} を得ます。
\begin{split}
h(x) &= x^4(1 - x)^4 \\
&= x^4(x^4-4x^3+6x^2-4x+1) \\
&= x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4
\end{split} より、
\begin{split}
K &= \frac{1}{9} - \frac{1}{2} + \frac{6}{7} - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \\
&= \frac{1}{630}\left( 70 - 315 + 540 - 420 + 126 \right) \\
&= \frac{1}{630}
\end{split} です。従って、式 $(3.3)$ から、
\begin{equation}
3.1412 < \frac{3958}{1260} = \frac{22}{7} - \frac{1}{630} < \pi < \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} = \frac{3959}{1260} < 3.1421 \tag{3.4}
\end{equation} を得ます。小数第 $3$ 位は惜しくも $1$ か $2$ かが決まりませんが、小数第 $2$ 位まで決めることができます。式 $(3.4)$ は式 $(2.8)$ より精度は少し悪いですが、計算は根号が絡まないこともあって大分楽です。オーバーキルですが、これを ① の解法とすることもできます。
また、2019 埼玉大学 理、工学部 後期 [4] がこの流れをそのまま辿る問題だったようです。
*1:例えば
ja.wikipedia.org
*2:因みに、$N = 6$ とすると、$3 < \pi$ となります。
*3:\begin{split}
\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \ &= \ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\
\cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \ &= \ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\end{split} です。この事実は、$\theta = \pi / 6 \ (30 ^\circ)$ のときの $\cos \theta = \sqrt{3} / 2$ と半角公式から証明できますが、受験生は覚えておいた方がいいです。$15 ^\circ$ は小さい角度なので、$\cos$ のほうが大きいことは明らかであり、符号に関しては $\cos$ のほうが $+$ と簡単に分かります。
*4:$\sqrt{2} = 1.41421356 \cdots$ と $\sqrt{3} = 1.7320508 \cdots$ を覚えておくと、左辺のあたりが付きます。この値は受験生は覚えていた方が良いです。語呂合わせは例えば、「一夜一夜に人見ごろ」と「人並みにおごれや」が知られています。
*5:$\mathrm{arc} \hspace{-1.5pt} \tan x$ は $\tan x$ の逆関数です。$I$ は、高校範囲では $x = \tan \theta$ と置換して求めます。すると原始関数が $\theta + C$ ($C$ は積分定数) となりますが、これは $x$ で表すと、$\mathrm{arc} \hspace{-1.5pt} \tan x + C$ ということです。また、$\tan(\pi / 12) = 2 - \sqrt{3}$ つまり、$\mathrm{arc} \hspace{-1.5pt} \tan (2 - \sqrt{3}) = \pi / 12 $ です。*3 も参照してください。
*6:小数点以下第 $3$ 位までの不等式を証明すればよく、$\sqrt{3}$ にかかっているのが $48$ であって $100$ 未満なので、$\sqrt{3}$ の評価は小数点以下5桁目までみれば十分そうです。このようにして計算の手間を節約できます。まあ、この不等式では題意を証明できませんでしたが…
*7:頑張って筆算する以外ないです…
