(問題)
以下の問いに答えよ。必要ならば, $ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31 $ であることを用いてよい。
(1) $ 5^n > 10^{19} $ となる最小の自然数 $ n $ を求めよ。
(2) $ 5^m + 4^m > 10^{19} $ となる最小の自然数 $ m $ を求めよ。
(1)
(解答)
$ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31 $ を式 $ (1) $ とする。今、$ \log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 $ であることから、式 $ (1) $ から
\begin{equation}
0.69 < \log_{10} 5 < 0.7 \tag{2}
\end{equation} を得る。
\begin{equation}
5^n > 10^{19} \ \Longleftrightarrow \ n \log_{10} 5 > 19 \ \ (\because \text{両辺正})
\end{equation} より、$ n \log_{10} 5 > 19 \ \cdots \ (3) $ を満たす最小の自然数 $ n $ が解である。今、式 $ (2) $ から、
\begin{split}
27 \log_{10} 5 &< 27 \times 0.7 = 18.9 < 19 \\
28 \log_{10} 5 &> 28 \times 0.69 = 19.32 > 19
\end{split} より、$ n = 27 $ は式 $ (3) $ を満たさず、$ n = 28 $ は満たす。以上より、$ 5^n > 10^{19} $ となる最小の自然数 $ n $ は $ 28 $。
(2)
(方針)
(1) から、$ m = 28 $ は明らかに不等式を満たします。問題はそれより小さい整数 $ m $ が不等式が条件を満たすか否かです。ただ、$ 5^m + 4^m = 5^m(1 + (4/5)^m) $ ですが、$ m = 28 $ の付近では、$ (4/5)^m $ は相当小さく、恐らく、$ m = 28 $ より小さいと、不等式は満たしにくいのではないかと検討が付きます。
それを証明するために式を変形していきます。
(解答)
$ m = 27 $ は $ 5^m + 4^m > 10^{19} $ を満たさないこと $\cdots (A)$ を示す。
(1) から、$ 27 \log_{10} 5 < 27 \times 0.7 = 18.9 $ なので、
\begin{equation}
5^{27} < 10^{18.9} \tag{4}
\end{equation} である。また、式 $ (1) $ から、
\begin{equation}
4^{27} = 2^{54} < 10^{0.31 \times 54} = 10^{16.74} \tag{5}
\end{equation} である。式 $ (4), \ (5) $ から、
\begin{split}
5^{27} + 4^{27} &< 10^{18.9} + 10^{16.74} \\
&= 10^{16} \left( 10^{2.9} + 10^{0.74} \right) \\
&< 10^{16} \left( 10^{2.9} + 10^{1} \right)
\end{split} ここでさらに式 $(1)$ から、$0.9 < \log_{10} 8$ つまり $ 10^{0.9} < 8 $ に注意すると、
\begin{split}
5^{27} + 4^{27} &< 10^{16} \left( 10^{2.9} + 10^{1} \right) \\
&= 10^{16} \left( 10^{2} \cdot 10^{0.9} + 10^{1} \right) \\
&< 10^{16} \left( 10^{2} \cdot 8 + 10^{1} \right) \\
&= 10^{16} \cdot 810 = 8.1 \cdot 10^{18} < 10^{19}
\end{split} より、$(A)$ が言えた。また、(1) から $ m = 28 $ では $ 10^{19} < 5^m < 5^m + 4^m $ を満たす。
以上より、$ 5^m + 4^m > 10^{19} $ となる最小の自然数 $ m $ は $ 28 $。
(最後に)
(1) は基本的な対数の問題でした。(2) は少し工夫すると示すことができます。因みに今回は式 $(1)$ が与えられていますが、これは簡単に示すことができて、
\begin{equation}
1000 = 10^3 < 2^{10} = 1024
\end{equation} の両辺対数とって、$3 < 10 \log_{10} 2$ より、$0.3 < \log_{10} 2$ です。また、
\begin{equation}
8192 = 2^{13} < 10^4 = 10000
\end{equation} の両辺対数とって、$13 \log_{10} 2 < 4 $ より、$\log_{10} 2 < 4 / 13 < 0.308 $ です。
