三角関数の厳密値の表①

この記事の続きです。
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前回の記事ではいくつかの有名角ではないものの比較的有名な角度で三角関数の値を求めました。特に、$\pi / 12 \ (15^{\circ})$ において、
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \ \ \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\end{align} で、$\pi / 10 \ (18^{\circ})$ において、
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{10} \right) = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}, \ \ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}
\end{align} でした。

さて、普通の三角関数表では、多くの場合 $1^{\circ}$ 刻みの角度に対して近似値が載っています。多くの角度で厳密値が求まりましたが、厳密値の表を作ることはできないのでしょうか。まず、上の値から $\pi / 60 \ (3^{\circ})$ での三角関数の値が求まることに気づきます。
\begin{align}
\cos \left( \frac{\pi}{60} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \frac{\pi}{10} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \\
= \frac{\left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \left( \sqrt{5} - 1 \right)}{16} \\
= \frac{2 \sqrt{15+3 \sqrt{5}} + 2 \sqrt{5+\sqrt{5}} + \sqrt{30} - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{2} }{16}
\end{align} です。同様に、
\begin{align}
\sin \left( \frac{\pi}{60} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \frac{\pi}{10} \right) \\
= \frac{- \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \left( \sqrt{5} - 1 \right)}{16} \\
= \frac{- 2 \sqrt{15+3 \sqrt{5}} + 2 \sqrt{5+\sqrt{5}} + \sqrt{30} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - \sqrt{2} }{16}
\end{align} です。複雑な形ですが厳密値が求まりました。$\tan$ もここから当然求まります。ここから加法定理を連続して用いていくことによって、整数 $n$ に対して $3n^{\circ}$ における三角関数が求まります。つまり、$\pi / 60 \ (3^{\circ})$ 刻みでの三角関数の表が原理的には作れます。かなりの気合と根性が必要ですが…

頑張って計算すると以下の表のようになります。赤字は有名角です。太字はこれまで計算してきた準有名角です。*1 *2