電験三種の教科書には、電柱間の距離が $ S $、電線の単位長さ当たりの質量 (線密度) が $ \rho$、電線の水平張力が $ T_0 $ であるとき*1、電線のたるみ $ D $ は
\begin{equation}
D \approx \frac{ \rho g S^2}{8T_0} \tag{1}
\end{equation} と近似され、またその電線の長さ $L$ は
\begin{equation}
L \approx S + \frac{8D^2}{3S} \tag{2}
\end{equation} と近似されると書かれています。$g$ は重力加速度です。これを導出します。
(1) 電線形状の導出
水平方向に $x$ 軸をとり、中央に原点を取ります。対称性から、電線は原点で最下点をとります。電線の形状を $f(x)$ とおき、$f(x)$ の傾きが $\tan \left( \theta(x) \right)$ となるように $\theta(x)$ を定義します。そのとき、
\begin{equation}
\tan \left( \theta(x) \right) = f'(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tag{3}
\end{equation} \begin{equation}
\cos \left( \theta(x) \right) = \frac{1}{\sqrt{1+f'(x)^2}} \tag{4}
\end{equation} \begin{equation}
\sin \left( \theta(x) \right) = \frac{f'(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}} \tag{5}
\end{equation} となります。また、位置 $x$ での張力を $T(x)$ と定義します。ここで、微小区間 $[x - \mathrm{d}x / 2, x + \mathrm{d}x / 2]$ の運動方程式を考えると、
\begin{split}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} T \left(x + \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \cos \theta \left( x + \frac{\mathrm{d}x}{2} \right)\\ T \left(x + \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \sin \theta \left( x + \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \end{pmatrix} \\
&- \begin{pmatrix} T \left(x - \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \cos \theta \left( x - \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \\ T \left(x - \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \sin \theta \left( x - \frac{\mathrm{d}x}{2} \right) \end{pmatrix} \\
&+ \begin{pmatrix} 0 \\ -\rho g \sqrt{1+f'(x)^2} \ \mathrm{d}x \end{pmatrix}
\end{split} 右辺第 $1$ 項は右側から引かれる張力、右辺第 $2$ 項は左側から引かれる張力です。右辺第 $3$ 項は微小区間に働く重力ですが、この微小区間の長さは $\sqrt{1+f'(x)^2} \ \mathrm{d}x$ なので、質量は $\rho \sqrt{1+f'(x)^2} \ \mathrm{d}x$ なので、この表式となります。
さて、$x$ 方向の式に注目すると、これは微分の定義から、
\begin{equation}
0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( T \left(x \right) \cos \theta \left( x \right) \right) \ \mathrm{d}x \tag{6}
\end{equation} を得ます。従って、
\begin{equation}
T \left(x \right) \cos \theta \left( x \right) = T_0 \left(\mathrm{const.} \right) \tag{7}
\end{equation} を得ます。水平方向の張力 $T \left(x \right) \cos \theta \left( x \right)$ が定数であることが、式 $(1)$ で既に暗黙のうちに仮定されていましたが、そのことが証明できました。
また、式 $(6)$ を展開することで、
\begin{equation}
0 = T'(x) \cos \theta (x) - T(x) \theta'(x) \sin \theta (x) \tag{8}
\end{equation} を得ます。
$y$ 方向の式に注目すると、これは微分の定義から、
\begin{equation}
0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( T \left(x \right) \sin \theta \left( x \right) \right) \ \mathrm{d}x -\rho g \sqrt{1+f'(x)^2} \ \mathrm{d}x
\end{equation} ここで、右辺第 $1$ 項を展開し、右辺第 $2$ 項に式 $(4)$ を代入して
\begin{equation}
0 = \left(T'(x) \sin \theta (x) + T(x) \theta'(x) \cos \theta (x) \right) \ \mathrm{d}x - \frac{\rho g}{\cos \theta (x)} \ \mathrm{d}x
\end{equation} を得ます。整理して、
\begin{equation}
\rho g = T'(x) \sin \theta (x) \cos \theta (x) + T(x) \theta'(x) \cos^2 \theta (x)
\end{equation} ここで式 $(8)$ から、$ T'(x) \cos \theta (x) = T(x) \theta'(x) \sin \theta (x)$ なので、右辺第 $1$ 項に代入して整理すると、
\begin{equation}
\rho g = T(x) \theta'(x)
\end{equation} です。さらに式 $(7)$ より、
\begin{equation}
\frac{\rho g}{T_0} = \frac{\theta'(x)}{\cos \theta (x)} \tag{9}
\end{equation} を得ます。式 $(9)$ を両辺を $x$ に関して積分します。積分定数を $C$ として、
\begin{equation}
\frac{\rho g}{T_0}x + C = \int\frac{\theta'(x)}{\cos \theta (x)} \mathrm{d}x = \int\frac{1}{\cos \theta} \mathrm{d}\theta
\end{equation} を得ます。この積分は有名テクニックで分母分子に $\cos \theta$ をかけて整理します。
\begin{equation}
\int\frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} \mathrm{d}\theta = \int\frac{\cos \theta}{1 - \sin^2 \theta} \mathrm{d}\theta
\end{equation} となるので、$t = \sin \theta$ と置換して、
\begin{equation}
\frac{\rho g}{T_0}x + C = \int\frac{1}{1 - t^2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| \tag{10}
\end{equation} を得ます。この積分は、以下の (1-1) を参照してください。
mathkyopro.hatenablog.com
式 $(10)$ を指数関数の肩に乗せることで、
\begin{equation}
A\exp (2kx) = \left| \frac{1 + \sin \theta (x)}{1 - \sin \theta (x)} \right| = \frac{1 + \sin \theta (x)}{1 - \sin \theta (x)}
\end{equation} を得ます。但し、$\exp(2C) = A$ とし、$k = \rho g / T_0$ と定めました。整理すると、
\begin{equation}
\sin \theta (x) = \frac{A\exp (2kx) - 1}{A\exp (2kx) + 1}
\end{equation} を得ます。ここで、$x = 0$ で電線は最下点つまり $f(x)$ は極小なので $f'(0) = 0$ つまり式 $(5)$ より $\sin \theta (0) = 0$ です。従って $A = 1$ を得るので、
\begin{equation}
\sin \theta (x) = \frac{\exp (2kx) - 1}{\exp (2kx) + 1}
\end{equation} 分母分子に $\exp (-kx)$ をかけて、
\begin{equation}
\sin \theta (x) = \frac{\exp (kx) - \exp (-kx)}{\exp (kx) + \exp (-kx)} = \tan \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( kx \right) \tag{11}
\end{equation} を得ます。ここで式 $(5)$ を $2$ 乗して、式 $(11)$ を代入することで、
\begin{equation}
\frac{f'(x)^2}{1 + f'(x)^2} = \tan \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)
\end{equation} を得ます。$\tan \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}$ は双曲線関数ですが、これについても上に出した過去記事を参照してください。上式を整理すると、
\begin{equation}
f'(x)^2 = \frac{\tan \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)}{1 - \tan \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)} = \sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} ^2 \left( kx \right)
\end{equation} *2 を得ます。いま、$x = 0$ で $f(x)$ が最小値を取ると定めたので、$x > 0$ で常に $f'(x) < 0$ である解は不適であることに注意すると、
\begin{equation}
f'(x) = \sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( kx \right) \tag{12}
\end{equation} となります。両辺積分して、$f(0) = 0$ となるように積分定数を定めると、$k = \rho g / T_0$ より、
\begin{equation}
f(x) = \frac{T_0}{\rho g} \left( \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( \frac{\rho g}{T_0} x \right) - 1 \right) \tag{13}
\end{equation} を得ます。すなわち、吊り下げた紐の表式は、ハイパボリックコサインで書けます。一見放物線っぽいですがそうではないのです。
(2) 電線たるみと電線長の公式の導出
まず、式 $(13)$ から直ちに、
\begin{equation}
D = f \left(\frac{S}{2} \right) = \frac{1}{k} \left( \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( \frac{kS}{2} \right) - 1 \right) \tag{14}
\end{equation} です。また対称性から、
\begin{align}
L &= 2\int_0^{\frac{S}{2}} \sqrt{1 + f'(x)} \ \mathrm{d}x \\
&= 2\int_0^{\frac{S}{2}} \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( kx \right) \ \mathrm{d}x \ \ \left(\because (12) \right) \\
&= \frac{2}{k} \left( \sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( \frac{kS}{2} \right) \right) \tag{15}
\end{align} を得ます。
ここで、$ \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( s \right) $ のマクローリン展開は、
\begin{equation}
\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( s \right) = 1 + \frac{1}{2}s^2 + O(s^4)
\end{equation} であることから、式 $(14)$ は $kS / 2 = \rho gS / 2T_0 \ll 1$ において、
\begin{equation}
D \approx \frac{1}{k} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{kS}{2} \right)^2 \right) = \frac{kS^2}{8} = \frac{ \rho g S^2}{8T_0}
\end{equation} と近似されることより式 $(1)$ を得ました。
また、$ \sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( s \right) $ のマクローリン展開は、
\begin{equation}
\sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h} \left( s \right) = s + \frac{1}{6} s^3 + O(s^5)
\end{equation} であることから、式 $(15)$ は $kS / 2 = \rho gS / 2T_0 \ll 1$ において、
\begin{align}
L &\approx \frac{2}{k} \left( \frac{kS}{2} + \frac{1}{6} \left( \frac{kS}{2} \right)^3 \right) \\
&= S + \frac{1}{24} k^2S^3 \\
&= S + \frac{8D^2}{3S} \ \ \ \left(\because (1) \ から k = \frac{8D}{S^2} \right)
\end{align} と近似されることより式 $(2)$ を得ました。
*1:電線の水平張力が一定であることは必ずしも自明でないと思いますがここでは認めます。後で証明されます。
*2:$ \cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right) - \sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right) = 1$ より、\begin{equation} 1 - \tan \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right) = \frac{\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)}{\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)} - \frac{\sin \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)}{\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)} = \frac{1}{\cos \hspace{-1.5pt} \mathrm{h}^2 \left( kx \right)} \end{equation} から従います。
