1/6 公式について解説した、以下の記事の続きです。
mathkyopro.hatenablog.com
1/12 公式とは、以下の等式のことです。
\begin{equation}
I = \int_\alpha^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)^2 \mathrm{d}x = +\frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3 \tag{1}
\end{equation} \begin{equation}
J = \int_\alpha^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta) \mathrm{d}x = -\frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3 \tag{2}
\end{equation}
これを証明します。
1/6 公式と同じように置換しますが、$I$ については $x - \beta = t$ と置換します。次数が大きい方を $t$ と置いた方が式が簡単になります。$J$ については $x - \alpha = t$ と置換します。これにより、
\begin{split}
I &= \int_{-D}^0 (t + D)t^2 \mathrm{d}t = -\int_{0}^{-D} (t + D)t^2 \mathrm{d}t \\
J &= \int_0^D t^2(t - D) \mathrm{d}t
\end{split} を得ます。$D = \beta - \alpha$ と置きました。これを計算して、
\begin{split}
I &= -\left[ \frac{1}{4}t^4 + D \frac{1}{3} t^3 \right]_0^{-D} & = - \left( \frac{1}{4}D^4 - \frac{1}{3}D^4 \right) &= +\frac{1}{12}D^4 \\
J &= \left[ \frac{1}{4}t^4 - D \frac{1}{3} t^3 \right]_0^{D} & = \left( \frac{1}{4}D^4 - \frac{1}{3}D^4 \right) &= -\frac{1}{12}D^4 \\
\end{split} を得たので、$(1), \ (2)$ 式が示されました。
この式でも、符号は、図形的に簡単に分かるので覚える必要がありません。
$3$ 次の係数が正の $3$ 次式なので、左は $-\infty$ から来て、右は $\infty$ へ行きます。また、$1$ 次の方の根は $x$ 軸と交わり、$2$ 次の方の根は接します。
