概要
回転座標系では、遠心力とコリオリ力という慣性力が現れることが知られています。これを導出していきます。
準備
慣性系として $xy$ 軸をとり、座標を $x(t), \ y(t)$ とします。それに対し、正の方向 (反時計回り) に $\theta(t)$ 回転している回転座標系 $XY$ を取り、座標を $X(t), \ Y(t)$ とします。
以下、時刻 $t$ の関数 $f(t)$ に対して、$t$ の微分 $ \mathrm{d}f(t) / \mathrm{d}t = \dot{f}(t)$ と書くことにします。$(t)$ は適宜省略します。
導出
$2$ つの座標系の関係は以下のように書けます。
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} \tag{1}
\end{equation} $\theta$ が $t$ の関数であることに注意して一階微分を考えると、
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x} = -\dot{\theta} \sin \theta \ X + \cos \theta \ \dot{X} - \dot{\theta} \cos \theta \ Y - \sin \theta \ \dot{Y} \\
\dot{y} = \dot{\theta} \cos \theta \ X + \sin \theta \ \dot{X} - \dot{\theta} \sin \theta \ Y + \cos \theta \ \dot{Y}
\end{cases}
\end{equation} となります。この式をさらに微分して、
\begin{split}
\ddot{x} &= -\left( \ddot{\theta} \sin \theta \ X + \dot{\theta}^2 \cos \theta \ X + \dot{\theta} \sin \theta \ \dot{X} \right) + \left( - \dot{\theta} \sin \theta \ \dot{X} + \cos \theta \ \ddot{X} \right) \\
& \ \ \ \ - \left( \ddot{\theta} \cos \theta \ Y - \dot{\theta}^2 \sin \theta \ Y + \dot{\theta} \cos \theta \ \dot{Y} \right) - \left( \dot{\theta} \cos \theta \ \dot{Y} + \sin \theta \ \ddot{Y} \right) \\
& = \left( \cos \theta \ \ddot{X} - \sin \theta \ \ddot{Y} \right) - \dot{\theta}^2 \left( \cos \theta \ X - \sin \theta \ Y \right) \\
& + 2 \dot{\theta} \left( -\sin \theta \ \dot{X} - \cos \theta \ \dot{Y} \right)+ \ddot{\theta} \left( -\sin \theta \ X - \cos \theta \ Y \right)
\end{split} と、
\begin{split}
\ddot{y} &= \left( \ddot{\theta} \cos \theta \ X - \dot{\theta}^2 \sin \theta \ X + \dot{\theta} \cos \theta \ \dot{X} \right) + \left( \dot{\theta} \cos \theta \ \dot{X} + \sin \theta \ \ddot{X} \right) \\
& - \left( \ddot{\theta} \sin \theta \ Y + \dot{\theta}^2 \cos \theta \ Y + \dot{\theta} \sin \theta \ \dot{Y} \right) + \left( -\dot{\theta} \sin \theta \ \dot{Y} + \cos \theta \ \ddot{Y} \right) \\
& = \left( \sin \theta \ \ddot{X} + \cos \theta \ \ddot{Y} \right) - \dot{\theta}^2 \left( \sin \theta \ X + \cos \theta \ Y \right) \\
& + 2 \dot{\theta} \left( \cos \theta \ \dot{X} - \sin \theta \ \dot{Y} \right)+ \ddot{\theta} \left( \cos \theta \ X - \sin\theta \ Y \right)
\end{split} を得ます。ところで、元の座標系 $xy$ で力が
\begin{equation}
\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \end{pmatrix} \left( = \begin{pmatrix} m\ddot{x} \\ m\ddot{y} \end{pmatrix} \right) \tag{2}
\end{equation} と書かれていたとすると、回転座標系 $XY$ での成分は、
\begin{equation}
\begin{pmatrix} F_X \\ F_Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \end{pmatrix} \tag{3}
\end{equation} となります。式 $(1)$ の両辺に逆行列をかけたような形です。式 $(2), \ (3)$ に $\ddot{x}, \ \ddot{y}$ の表式を代入することにより、
\begin{equation}
\begin{cases}
F_X = m\ddot{x} \cos \theta + m\ddot{y} \sin \theta = m\ddot{X} - mX \dot{\theta}^2 - 2m \dot{Y} \dot{\theta} - mY \ddot{\theta} \\
F_Y = -m\ddot{x} \sin \theta + m\ddot{y} \cos \theta = m\ddot{Y} - mY \dot{\theta}^2 + 2m \dot{X} \dot{\theta} + mX \ddot{\theta}
\end{cases}
\end{equation} を得るので、整理すると、
\begin{cases}
m\ddot{X} = F_X + mX \dot{\theta}^2 +2m \dot{Y} \dot{\theta} + mY \ddot{\theta} \\
m\ddot{Y} = F_Y + mY \dot{\theta}^2 -2m \dot{X} \dot{\theta} - mX \ddot{\theta}
\end{cases} を得ます。これが回転座標系での運動方程式です。このうち第 $1$ 項は、慣性系でもあった外力による項です。第 $2$ 項が遠心力で、原点から遠ざかる向きに働きます。第 $4$ 項は角加速度による慣性力です。$\ddot{\theta} > 0$ の場合、下図の向きに働きます。また、回転座標系が一定の速度で回転し、$\dot{\theta} = \omega$ (定数) の場合は、$\ddot{\theta} = 0$ なので、この項は $0$ になります。
どちらの力も、$r = \sqrt{X^2 + Y^2}$ に比例します。
第 $3$ 項がコリオリ力です。この慣性力は速度に比例し、また速度ベクトルに直交する向きであることが分かります。$\dot{\theta} > 0$ つまり反時計回りの場合、速度ベクトル $\boldsymbol{v} = \left(\dot{X}, \ \dot{Y} \right)$ を $-90^{\circ}$ 回転した方向、つまり進行方向の右向きに力を受けます。大きさは $2m|\boldsymbol{v}| \dot{\theta}$ です。時計回りの場合は左向きに力を受けます。
