これを考えるために、整数では何が成り立っているのかをまず見ていく必要があります。
準備: 整数の性質
整数 $ \left( \mathbb{Z} \right)$ では、加法 ($+$) と乗法 ($\cdot$) が定義されており、以下の性質が成立しています。
① 加法について
A. 加法について閉じている。つまり、$\forall a, b \in \mathbb{Z}$ に対して $a + b \in \mathbb{Z}$ が成り立つ。
B. 結合法則。つまり、$\forall a, b, c \in \mathbb{Z}$ に対して $(a + b) + c = a + (b + c)$ が成り立つ。
C. 可換。つまり、$\forall a, b \in \mathbb{Z}$ に対して $a + b = b + a$ が成り立つ。
D. 単位元の存在。つまり、$\exists e \in \mathbb{Z} \ \forall a \in \mathbb{Z} \ a + e = a$ が成り立つ。(整数において、そのような $e$ は $0$)
E. 逆元の存在。つまり、$\forall a \in \mathbb{Z} \ \exists a' \in \mathbb{Z} \ a + a' = 0$ が成り立つ。($a$ に対してそのような $a'$ を $-a$ と書き、この加法逆元を特に反元と呼ぶ)
② 乗法について
A. 乗法について閉じている。つまり、$\forall a, b \in \mathbb{Z}$ に対して $a \cdot b \in \mathbb{Z}$ が成り立つ。
B. 結合法則。つまり、$\forall a, b, c \in \mathbb{Z}$ に対して $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ が成り立つ。
C. 可換。つまり、$\forall a, b \in \mathbb{Z}$ に対して $a \cdot b = b \cdot a$ が成り立つ。
D. 単位元の存在。つまり、$\exists e \in \mathbb{Z} \ \forall a \in \mathbb{Z} \ a \cdot e = a$ が成り立つ。(整数において、そのような $e$ は $1$)
③ 加法と乗法について
・左分配法則。つまり、$\forall a, b, c \in \mathbb{Z}$ に対して $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ が成り立つ。
・右分配法則。つまり、$\forall a, b, c \in \mathbb{Z}$ に対して $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ が成り立つ。
このうち、非負整数に対して負の整数を定義した直接の効果は、① E の成立です。非負整数ではもちろん、これは成り立っていません。
因みに、集合と $2$ つの演算の組に対して、① - ③ が成立している場合、その組を「環」といいます。$\left( \mathbb{Z}, +, \cdot \right)$ は環です。
集合と $1$ つの演算の組に対して A - E が成立している場合、その組を「可換群 (アーベル群)」といいます。$\left( \mathbb{Z}, + \right)$ は可換群です。
集合と $1$ つの演算の組に対して A, B, D が成立している場合、その組を「モノイド」といいます。$\left( \mathbb{Z}, \cdot \right)$ はモノイドです。
なぜマイナスかけるマイナスはプラスか
一言でいうと、分配法則からの帰結です。そのことを説明していきます。(1) (2) は示すべきことなので証明していますが、自明だと思えるなら、(3) だけ見てもらってもいいです。
(1) 加法単位元 $0$ は乗法吸収元である。すなわち、$\forall a \in \mathbb{Z} \ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ が成り立つ。
(証明)
\begin{split}
\forall a \in \mathbb{Z} \ \ a \cdot 0 &= a \cdot (0 + 0) \ \ (\because 0 \ \text{は加法単} \text{位元}) \\
&= a \cdot 0 + a \cdot 0 \ \ (\because 左分配法則)
\end{split} ここで、① E 反元の存在から、両辺に $-(a \cdot 0)$ を足すことができるので、
\begin{equation}
\forall a \in \mathbb{Z} \ \ 0 = a \cdot 0
\end{equation} である。同様に $0 \cdot a = 0$ も右分配法則から言えるので題意が言えた。
(2) $\forall a, b \in \mathbb{Z} \ -(a \cdot b) = (-a) \cdot b = a \cdot (-b)$
(証明)
\begin{split}
\forall a, b \in \mathbb{Z} \ \ 0 &= 0 \cdot b \ \ (\because (1)) \\
&= (a + (-a)) \cdot b \ \ (\because ① \ \mathrm{E} \ 反元の存在) \\
&= a \cdot b + (-a) \cdot b \ \ (\because 右分配法則) \\
\end{split} 従って、反元の定義から、$a \cdot b$ の反元 $-(a \cdot b) = (-a) \cdot b$ である。同様にして左分配法則から $-(a \cdot b) = a \cdot (-b)$ なので、題意が言えた。
(3) マイナスかけるマイナスはプラスである。つまり、$\forall a, b \in \mathbb{Z} \ (-a) \cdot (-b) = a \cdot b$ が成り立つ。
(証明)
\begin{split}
\forall a, b \in \mathbb{Z} \ \ 0 &= -a \cdot 0 \ \ (\because (1)) \\
&= -a \cdot (b + (-b)) \ \ (\because ① \ \mathrm{E} \ 反元の存在) \\
&= (-a) \cdot b + (-a) \cdot (-b) \ \ (\because 左分配法則) \\
&= -(a \cdot b) + (-a)\cdot (-b) \ \ (\because (2))
\end{split} ここで、$a \cdot b$ の反元が $-(a \cdot b)$ なので、両辺に $a \cdot b$ を足すと、
\begin{equation}
\forall a, b \in \mathbb{Z} \ \ a \cdot b = (-a)\cdot (-b)
\end{equation} である。よって題意が言えた。
つまり、分配法則が成り立つなら、必然的にマイナスかけるマイナスがプラスである必要があるのです。
