1/6 公式とは、以下の等式のことです。
\begin{equation}
I = \int_\alpha^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \mathrm{d}x = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \tag{1}
\end{equation} これを証明します。
$t = x - \alpha$ と置換します。$D = \beta - \alpha$ と置くと、$x - \beta = (t + \alpha) - \beta = t - D$ ですので、
\begin{equation}
I = \int_0^D t(t - D) \mathrm{d}t
\end{equation} となります。これを計算して、
\begin{split}
I &= \left[ \frac{1}{3}t^3 - D \frac{1}{2} t^2 \right]_0^D \\
&= \frac{1}{3} D^3 - \frac{1}{2} D^3 \\
&= -\frac{1}{6} D^3 \\
&= -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3
\end{split} を得たので、$(1)$ 式が示されました。
このうち、符号が負であることは、図形的に簡単に分かるので覚える必要がありません。
$I$ は図の放物線と $x$ 軸が囲む符号付き面積ですが、それは $x$ 軸の下にあるので負です。
いずれこの 1/6 公式に関連した、3次式の積分に対する 1/12 公式や、4次式の積分に対する 1/20 公式、1/30 公式、またこれらすべての一般化であるベータ関数について解説したいと思います。
