問題
以下の問に答えよ.
解答
(1) 階乗は単調増加であることと、$a < b$ より $a \le b - 1$ であることから、$a! \le (b - 1)!$ である。従って、
\begin{equation}
\frac{b!}{a!} \ge \frac{b!}{(b - 1)!} = b
\end{equation} であり、題意が言えた。
(2) (1) より、
\begin{equation}
2 = \frac{b!}{a!} \ge b
\end{equation} である。これを満たす自然数 $b$ は $1, \ 2$ のみである。
$b = 1$ のとき、与式は $ 2 \cdot a! = 1$ であるが、これを満たす自然数 $a$ は存在しない。
$b = 2$ のとき、与式は $ 2 \cdot a! = 2$ つまり $a! = 1$ であるが、これを満たす自然数 $a$ は $1$ のみである。
以上より、解は $\left( a, \ b \right) = (1, \ 2).$
(3) 以下の (A) (B) に場合分け出来る。
(Ａ) $a = b$ のとき
与式は $b ! = c!$ となる。
従ってこのとき、任意の自然数 $n$ に対して、$\left( a, \ b, \ c \right) = (n, \ n, \ n)$ が解。
(B) $a \neq b$ のとき
$a < b$ としても一般性を失わない。 このとき $2 \le b$ である。
$2\cdot c! = a! + b! < 2\cdot b!$ であるため、$c! < b!$ つまり $c < b$ を得る。
このとき、
\begin{split}
2 \cdot c! &\le 2(b - 1)! \ \ (\because c \le b - 1)\\
&\le b \cdot (b - 1)! \ \ (\because 2 \le b) \\
&= b! \\
&< a! + b!
\end{split} であり、不適。
以上より解は (A) のみであり、それは、任意の自然数 $n$ に対して $\left( a, \ b, \ c \right) = (n, \ n, \ n)$ である。
